Origine du nombre imaginaire « i »

27/10/2015 | Fractales67

  Un problème bien embarrassant

Résoudre des équations du 3e degré grâce à Jérome Cardan

Un mathématicien italien du XVIe siècle appelé Jérome Cardan a formulé une formule pouvant résoudre les équations du type :

Ici, x, p et q sont chacun des nombres réels, on dit qu’ils appartiennent à l’ensemble des réels et on le note ainsi :

Cependant ce type d’équation n’était résolvable en cette époque qu’à certaines conditions; il faut en effet que :

Lorsque la condition précédente est respectée, alors les solutions sont :

  On peut également écrire de cette manière (c’est équivalent) :

 

Bombelli, le petit futé qui travaille avec l’impossible !

En 1572, un mathématicien se nommant Bombelli décide d'utiliser la formule de Cardan en s'autorisant à utiliser des nombres considérés comme impossible, en particulier ce nombre.

  En 1572, le mathématicien italien Bombelli décide d’utiliser la formule de Cardan en s’autorisant à utiliser des nombres considérés comme impossible comme sqrt(-121), sans essayer à en comprendre se sens.

PS : sqrt = « square root » en anglais, qui se traduit par « racine carrée » en français.

Nous allons maintenant vérifier que sqrt(-121) est bien solution de l’équation :

A l’aide de la formule de Cardan, on obtient :

 

 

 

 
 
Par la suite, on admettra que :

 

On aboutit donc à :

A l’aide de l’utilisation de nombre « impossible », Bombelli a réussi à trouver une solution réelle et correcte ! En effet,

 

Une histoire de notation

Un problème avec la notation sqrt(-1)

En 1774, le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss estime que la notation sqrt(-1) pose un problème car en effet :

Or pour sqrt(-1), on abouti à une contradition car :

D’un côté on obtient 1 et (-1), il y a donc un problème avec cette notation.

 

Une nouvelle notation apparait

En 1777, le mathématicien suisse Leonhard Euler décide de noter sqrt(-1) de cette manière :

Euler propose que sqrt(-1) est égal à i (comme imaginaire); en l’élevant au carré, on obtient :

Au final, on se retrouve avec des nouveaux nombres appelés <<imaginaires>> qui respectent :

 

Vers l’ensemble des nombres complexes

Un nouvel ensemble de nombre encore plus grand que les réels est alors apparu. On décide de noter cet ensemble C (pour nombres complexes).

Un nombre complexe se note souvent z et vérifie les conditions :

Ici, a et b sont des nombres réels et i est le nombre tel que :

Votre ensemble de nombre ressemble maintenant à cela :

Pour un peu plus détailler la composition de chaque ensemble, on a :

Cette illustration nous montre bien que l’ensemble des complexes C est l’association de l’ensemble des réels R avec l’ensemble des nombres imaginaires I.

5 commentaires

  1. Franchement, merci beaucoup ! C’est très bien expliqué, et en plus, simple à comprendre. Je n’ai pas un très grand niveau, mais j’ai compris ce que je voulais comprendre. Alors merci !

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