Le nombre plastique et la suite de Padovan

29/11/2015 | Fractales67

PRESENTATION ET CALCUL DU NOMBRE PLASTIQUE Ψ

Le nombre plastique est l’unique solution à l’équation x^3-x-1=0.

Cette équation ressemble à première vue à celle (x^2-x-1=0) permettant l’obtention du nombre d’or φ, c’est pourquoi le nombre plastique s’appelle aussi le nombre d’argent.

On peut bien sûr trouver une valeur approché du nombre plastique grâce à la méthode de dichotomie, mais on résout avec exactitude l’équation en passant par les complexes et en posant alors:

D’après le théorème de d’Alembert, ce polynôme admet 3 racines et si A est une racine de ce polynôme, alors A barre (qui est la racine conjuguée de A) est aussi racine de ce polynôme.

Cette équation se résout grâce à la méthode de Cardan: :waw:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Méthode_de_Cardan

Ainsi, on sait que le nombre plastique ψ est l’unique racine réelle vérifiant :

ψ^3-ψ-1=0      

ie   

, avec : 

L’égalité permet d’obtenir : 

Ainsi:

C’est drôlement similaire avec le nombre d’or φ; en effet:

 

La suite de Padovan est une suite récurrente linéaire définie par :

On remarque une ressemblance avec la récurrence définissant la suite de Fibonacci.

La formule explicite de cette suite est finalement

avec :

Je l’ai testé sur ma calculette et effectivement, ça marche !!! :magicien: Testé et Approuvé.

Ce qui est fascinent, c’est que :   :p

Construction d’une suite de Padovan à l’aide de triangles équilatéraux : 

C’est en effet un architecte anglais, Richard Padovan (1935-) qui construisit une suite d’entiers à partir de triangles équilatéraux placés en « colimaçon ».

Le nombre plastique est donc utilisé en architecture.

 

Au final :

 Nombre d’Or (Φ) issu de la suite de Fibonacci et Nombre plastique (Ψ) issu de la suite de Padovan

⇒ Même similitudes.

 

Ceci fini ce petit tutoriel sur le nombre plastique.

Si vous voulez en savoir plus, je vous conseille de lire ce pdf :

http://www.apmep.fr/IMG/pdf/nbag.pdf

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